目录Lingo 语法一、 概述1、 简介2、 文件格式3、 窗口详解4、 优化模型二、 基本运算符1、 逻辑运算符2、 比较运算符3、 算术运算符三、 常见函数1、 数学函数2、 界定函数3、 集循环函数4、 辅助函数四、 模型建立1、 集合段2、 目标和约束段五、 案例1、 运输与选址2、 最优选择
Lingo 语法
一、 概述
1、 简介
LINGO是用来解决优化问题的一个特别好用的软件，可以快速求解线性规划、非线性规划、线性和非线性方程组等等，是数学建模中求优化问题的解不可缺少的工具之一
（1）LINGO 的数学规划模型包含目标函数、决策变量、约束条件三个要素；
（2）LINGO 程序中，每一个语句都必须要用一个英文状态下的分号结束，一个语句可以分几行输入；
（3）LINGO 的注释以英文状态的！开始，必须以英文状态下的分号结束；
（4）LINGO 的变量不区分字母的大小写，必须以字母开头，可以包含数字和下划线，不超过32 个字符；
（5）LINGO 程序中，只要定义好集合后，其他语句的顺序是任意的；
（6）LINGO 中的函数以“@”开头；
（7）LINGO 程序默认所有的变量都是非负的；
（8）LINGO 程序中"<“或”>"号与 ""或 " " 号功能相同。
2、 文件格式
后缀“lg4”表示lingo格式的模型文件，只有lingo软件才可打开；
后缀“lng”表示文本格式的模型文件；
后缀“ldt”表示lingo数据文件；
后缀“ltf”表示lingo命令脚本文件；
后缀“lgr”表示lingo报告文件。
3、 窗口详解
4、 优化模型
通常，一个优化模型由以下三部分组成：
目标函数：一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小值
决策变量：目标函数数字取决于哪些变量
约束条件：对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等式表示）
注意：Lingo默认所有决策变量都为正数，因而变量非负条件可以不必输入
二、 基本运算符
1、 逻辑运算符
#not# 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符
#eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase
#ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase
#lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase
#le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase
#and# 仅当两个参数都为true 时，结果为true；否则为flase
#or# 仅当两个参数都为false 时，结果为false；否则为true
2、 比较运算符
关系运算符与逻辑运算符中的比较时截然不同的，前者是模型中该关系运算符所指定关系为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足
Lingo中有三种运算符：=，>=、>，和<=、<，Lingo中并不支持严格小于和严格大于关系运算符
A < B => A <= B
3、 算术运算符
运算符
描述
-
取反
^
乘方
*
乘
/
除
+
加
-
减
Lingo唯一的一元算术运算符是取反运算符
运算符的优先级由高到低为：取反-》减
优先级顺序可以通过括号改变
三、 常见函数
1、 数学函数
@abs(x) 返回x 的绝对值
@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制
@cos(x) 返回x 的余弦值
@tan(x) 返回x 的正切值
@exp(x) 返回常数e 的x 次方
@log(x) 返回x 的自然对数
@lgm(x) 返回x 的gamma 函数的自然对数
@sign(x) 如果x<0 返回-1；否则，返回1
@floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0 时，返回不超过x 的最大整数；当x<0时，返回不低于x 的最大整数。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最小值
2、 界定函数
@bin(x) 限制x 为0 或1 — 用于0-1规划
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消对变量x 的默认下界为0 的限制，即x 可以取任意实数
@gin(x) 限制x 为整数在默认情况下，LINGO 规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free 取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。
3、 集循环函数
@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:
expression_list);
@function相对应于下面罗列的四个集循环函数之一；setname是要遍历的集；set_index_list是集索引列表；conditional_qualifier 是用来限制集循环函数的范围，当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier 进行评价，若结果为真，则对该成员执行@function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是@for函数时，expression_list 可以包含多个表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函数时， expression_list 只能有一个表达式。如果省略set_index_list ，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。
@for
该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束。@for函数允许只输入一个约束，然后LINGO 自动产生每个集成员的约束。
@sum
该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。
@min和@max
返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。
4、 辅助函数
@if(logical_condition,true_result,false_result)
@if 函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真返回true_ result，否则返回false_result。
@warn(’text’,logical_condition)，如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为’text’的信息框
其余函数可以在用到的时候去文档查询
四、 模型建立
1、 集合段
这部分要以“SETS:”开始，以“ENDSETS”结束，作用在于定义必要的集合变量（SET）及其元素（member，含义类似于数组的下标）和属性（attribute，含义类似于数组）。
为了定义一个原始集，必须详细声明：
集的名字
可选，集成员
可选，集成员属性
定义一个原始集，用下面的语法：
setname[/member_list/][:attribute_list]
括号内容表示可选
成员罗列的几种方式
显示罗列集成员：把所有成员名列出，用逗号" , "或空格分隔。
隐式罗列集成员：setname/member1..memberN/[: attribute_list]; !用".."表示省略
集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定义
实例：
! 常用实例方法，创建一个罗列集
SETS:
QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV; ! 生成四个属性，初始化值都为 [1 2 3 4]
factory /1..6/:a, b; ! 生成一个 1 x 6 的矩阵
! factory 称为数组的类型名，a, b 称为数组的变量名
plant /1..8/: c, d; ! 生成一个 1 x 8 的矩阵
Cooperation(factory,plant): e, f; ! 生成一个 6 x 8 的矩阵，如果交换一个位置，则，生成一个 8 x 6 的矩阵，也可以使用 link(factory, plant) 6 x 8
! Cooperation大工厂是由factory和plant两家小工厂合并而办，可生产6×8的矩阵
ENDSETS
! 初始化数据
DATA:
a = 1, 2, 3, 4, 5, 6
ENDDATA:
需要赋值的矩阵必须赋满，不能给6个元素的矩阵只赋3个数值。
Lingo中可以给矩阵赋整数，也可以赋小数。
2、 目标和约束段
这部分实际上定义了目标函数、约束条件等，但这部分并没有段的开始和结束标记，因此实际上就是除其它4个段（都有明确的段标记）外的lingo模型。
这里一般要用到函数。例如：
MIN = @SUM(QUARTERS:400*RP+450*OP+20*INV); ！ @sum为一个求和函数，对这个一维数组求400*RP + 450*OP + 20*INV 的和，第一个参数传入集合的类型
@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40); ! 对 QUARTERS 进行遍历，传入类型名称，后面是操作，同时自动遍历PR里面的内容
@FOR(QUARTERS(I):I#GT#1:INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
INV(1) = 10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);
五、 案例
1、 运输与选址
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),水泥日用量di (单位：吨）
i 1 2 3 4 5 6
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d 3 5 4 7 6 11
现有2料场，位于A (5, 1), B (2, 7),记(xj,yj),j=1,2, / i=1~6日储量ej各有20吨。
假设料场和工地之间有直线道路，制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
取决策变量c_ij表示i工地从j料场运来的水泥量。模型（线性模型）为：
\[\text{min} \sum_{j=1}^2{\sum_{i=1}^6{c_{ij}\sqrt{(x_j-a_i)^2+(y_j-b_i)^2}}}\\
s.t\left\{\begin{matrix}
\sum_{j=1}^2 c_{ij}=d_i. i=1,2,...,6 \\
\sum_{i=1}^6 c_{ij} \le e_j,j=1,2
\end{matrix}\right.
\]
则，求解可得：
MODEL:
SETS:
demand/1..6/: a, b, d;
supply/1,2/:e, x, y;
link(demand, supply): c;
ENDSETS
DATA:
a=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25;
b=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75;
d=3 5 4 7 6 11;
x=5 2;
y=1 7;
e=20 20;
ENDDATA
MIN=@SUM(link(i, j):c(i, j)*@SQRT((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2)); ! express;
@FOR(demand(i):@SUM(supply(j):c(i,j))=d(i)); ! condition1;
@FOR(supply(j):@SUM(demand(i):c(i,j)) < e(j)); ! condition2;
END
2、 最优选择
某钻井队要从10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为s1,s2…,s10,相应的钻探费用c1,c2,…,c10为5,8,10,6,9,5,7,6,10,8.并且井位选择上要满足下列限制条件：
（1） 或选择s1和s7,或选择钻探s9；
（2） 选择了s3或s4就不能选s5，或反过来也一样；
（3） 在s5,s6,s7,s8中最多只能选两个.
试建立这个问题的整数规划模型,确定选择的井位。
可以采用真值表建立约束条件表达式
取0-1变量s_i，若s_i=1,则表示选取第i个井，若s_i=0,则表示不选取第i个井。建立数学模型如下：
\[\text{min} \sum_{i=1}^{10} {s_ic_i}\\
s.t \left\{\begin{matrix}
(s_1+s_7 - 2)(s_9)=0 \\
s_3s_5+s_4s_5=0\\
s_5+s_6+s_7+s_8 \le 2\\
\sum_{i=1}^{10}s_i=5\\
s_i \in {0, 1}(i=1,2,...,10)\end{matrix}\right.
\]
则，求解可得：
MODEL:
SETS:
var/1..10/:s,c; ! 创建集合
ENDSETS
DATA:
c=5 8 10 6 9 5 7 6 10 8; ! 给集合赋值
ENDDATA
MIN = @SUM(var(i):s(i)*c(i)); ! 求解结果
(s(1)+s(7)-2)*s(9) = 0; ! 条件1
s(3)*s(5)+s(4)*s(5)=0; ! 条件2
s(5)+s(6)+s(7)+s(8)<2; ! 条件3
@SUM(var(i):s(i))=5; ! 条件4
@FOR(var(i):@BIN(s(i))); ! 条件5，使用for循环对s的每一个值进行约束，1代表true
END